Aplikasi Persamaan Integral

Aplikasi Persamaan Integral Pada Penelitian

       Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada keterangan yang diberikan.

1. Aplikasi Integral pada sistem elektronik

Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut :

Karena komponen elektronik memiliki karakteristik seperti di atas maka analisis dari beberapa rangkaian elektronis harus diselesaikan menggunakan turunan maupun integral.

• Pada arus DC

Contoh :

Carilah persamaan tanggapan rangkaian berikut:

• Pada arus AC Biasa

Sebuah arus sinusoidal biasa direpresentasikan sebagai berikut :

Maka besarnya tegangan pada komponen elektronik menjadi

Maka pada rangkaian berikut tanggapannya adalah :

2.  Transformasi-Transformasi

Transformasi  yang  akan  dibahas  di  sini  merupakan  transformasi  yang  ada  kaitannya  dengan integral,  yaitu  transformasi  Fourier dan  Transformasi  Laplace.  Banyak  transformasi  dilakukan dengan prinsip integrasi terhadap bagian-bagian gelombang yang ada.

Mengapa perlu transformasi ?

• Setiap  orang  pada  suatu  saat  pernah  menggunakan  suatu  teknik  analisis  dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]
• Transformasi  dilakukan  agar  domain  penelitian  dapat  diubah  ke  dalam  domain penelitian  yang lebih  gampang  sehingga  dapat  diselesaikan  secara  matematis  dengan mudah. Contohnya transformasi Fourier dan Laplace mengubah sinyal dalam kawasan waktu ke kawasan frekuensi.
• Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui  suatu informasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya

Contoh :

-jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier

1. Transformasi Fourier

Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi  periodik  (sinyal)  dapat  dibentuk  dari  penjumlahan  gelombang-gelombang sinus/cosinus.

Penjelasan:

• 1  gelombang  sinus dgn  frek 50Hz  dikatakan  memiliki  1 frekuensi  atau  1  spektrum frekuensi sinyal sinus dengan formula : 5sinus(50Hz) + 4sinus(20Hz) + 2 sinus(10Hz) dikatakan  memiliki  3  spektrum  frekuensi.  Penjumlahan  sinyal-sinyal  tersebut nantinya akan membentuk sebuah sinyal baru.
• Sinyal  kotak  adalah  penjumlahan  banyak  sinyal  sinus  yang  memiliki  frekuensi berbeda, dan banyaknya adalah infinity : tak terbatas.

         Contoh : 

         Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut 

         f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …,

        hasilnya sebagai berikut:

       Kita  dapat  menyatakan  semua  sinyal  periodik  dalam  penjumlahan  fungsi-fungsi  sinus-cosinus,     

      dengan cara :

      Rumus FT kontinu 1 dimensi

     Rumus sinyal kontinyu berhubungan erat dengan aplikasi integral

• Rumus FT diskret 1 dimensi

   

      2. Transformasi Laplace

     Bila transformasi Fourier direpresentasikan dalam kawasan frekuensi berlambangkan ) (ω , maka representasi gelombang/sinyal pada transformasi Laplace diubah ke dalam kawasan frekuensi  X(s),  di  mana ω σ j s + = .  Transformasi  Laplace  merupakan  jabaran  dari transformasi  Fourier.  Penjabaran  ini  dilakukan  agar  hitungan  yang  dihasilkan  lebih sederhana  dan  lebih  mudah.  Tranformasi  Laplace  merupakan  transformasi  yang mengandung  pasangan  Transformasi  Fourier  kompleks  yaitu  X(s).  Juga  biasa  disebut transformasi Laplace bilateral atau transformasi Laplace dua sisi (two-sided).

     Contoh soal:

3. Aplikasi Integral untuk menghitung Volume

• Volume

Misal  diberikan  permukaan  z=f(x,y) dan  R  merupakan  daerah  terletak  pada bidang XOY  atau bisa merupakan proyeksi dari permukaan z=f(x,y), maka volume benda ruang yang dibatasi diatas oleh permukaan z=f(x,y) dan di bawah dibatasi oleh R dituliskan 

Contoh:

Hitung  volume  bangun  ruang  yang  terletak  di  oktan  pertama  yang  dibatasi  oleh  bidang 

2x+3y+Z-6 = 0.

Jawab:

Dilihat dari gambar setelah bidang diproyeksikan terhadap bidang XOY diperoleh :

Maka volume bangun ruang dinyatakan sebagai berikut :